解と係数の関係とは？【意外な使い方と三次方程式の解と係数の関係まで】

二次方程式\(ax^2 +bx + c =0\)が\(\alpha\)、\(\beta\)を解にもつとすると、

\(a(x-\alpha)(x-\beta)=0\)と変形できるはず。これを展開してまとめると、

\(ax^2-a(\alpha+\beta)x +a\alpha\beta =0\)

これが元の二次方程式\(ax^2 +bx + c =0\)と一致するので、係数を比較して、

\( \begin{cases}
\displaystyle -a(\alpha + \beta) = b \\
\displaystyle a\alpha \beta = c
\end{cases} \)

よって、

\( \begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \\
\displaystyle \alpha \beta = \frac{c}{a}
\end{cases} \)

解と係数の関係は、

二次方程式\(ax^2 +bx + c =0\)（\(a \neq 0\)）の解を\(\alpha\)、\(\beta\)とする

\(\Leftrightarrow\)

\( \begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \\
\displaystyle \alpha \beta = \frac{c}{a}
\end{cases} \)

というものですが、これを\(\Leftarrow\)向きに使うと、

\( \begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \\
\displaystyle \alpha \beta = \frac{c}{a} \\
\end{cases} \)

のとき、\(\alpha\)、\(\beta\)を解にもつ二次方程式は\(ax^2 +bx + c =0\)

となります。

これで２数を解にもつ二次方程式を作ろう！…という話なのですが…

せんせ

ただ、このままではわかりにくいです。特に\(\displaystyle \alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)、\(\displaystyle \alpha \beta = \frac{c}{a}\)ですね。ということで、「足したもの」「掛けたもの」の値からなるべくシンプルに二次方程式を作りたいと思います。

実は２数を解に持つ二次方程式は無数にあります。

例．２数\(\displaystyle \frac{1}{2}\)、\(1\)を解に持つ二次方程式は、

・\((2x-1)(x-1)=0 \Rightarrow 2x^2-3x+1 = 0 \)

これを両辺２で割ると、

・\(\displaystyle x^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2} = 0 \)

こんな感じで、=0の方程式は何を掛けても何で割ってもいいので、２数を解に持つ二次方程式は無数に作ることができます。

逆に言うと、どの二次方程式を使ってもいいのですが、一番わかりやすいのが\(x^2\)の係数\(a\)が\(1\)である二次方程式です。

\(a=1\)と決めてしまうと、先程の解と係数の関係を使って二次方程式を作る式は

「
\( \begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta = -b \\
\displaystyle \alpha \beta = c \\
\end{cases} \)

のとき、\(\alpha\)、\(\beta\)を解にもつ二次方程式は\(x^2 +bx + c =0\)
」

となります。

せんせ

これなら、\(\alpha + \beta\)と\(\alpha \beta\)の値から方程式を作りやすいですね！

ということで、

「
\( \begin{cases}
\alpha + \beta = 6 …① \\
\alpha \cdot \beta = 4 …②\\
\end{cases} \)
解と係数の関係より、\(\alpha\)、\(\beta\)を解にもつ\(x\)の二次方程式の１つは
（\(x^2\)の係数を1としたときに\(b=-6\)、\(c=4\)）となるから）
\(x^2 -6x + 4 = 0\)
」

となるわけですね。

二次方程式のときと同じ流れで証明できます。

三次方程式\(ax^3+bx^2+cx+d =0\)が\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)を解にもつとすると、

\(a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0\)と変形できるはず。これを展開してまとめると、

\(ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2 +a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x-a\alpha\beta\gamma =0\)

これが元の三次方程式\(ax^3+bx^2+cx+d =0\)と一致するので、係数を比較して、

\( \begin{cases}
\displaystyle -a(\alpha + \beta + \gamma) = b \\
\displaystyle a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = c\\
\displaystyle -a \alpha \beta \gamma = d
\end{cases} \)

よって

\( \begin{cases}
\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \\
\displaystyle \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}\\
\displaystyle \alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}
\end{cases} \)