正弦定理と余弦定理の基本【使い分けのコツについても説明】

せんせ

図を使った証明の方がわかりやすいので、そちらをご覧ください。

（証明）

三角形と外接円を考えるとわかりやすいです。

角\(A\)と辺\(a\)について証明すればOKです。角\(B\)と辺\(b\)、角\(C\)と辺\(c\)については同様に証明できます。

（ⅰ）\(A\)が鋭角のとき

（ⅱ）\(A\)が直角のとき

（ⅲ）\(A\)が鈍角のとき

（終）

ちなみに、図形の証明をするときに、場合分けの判断が結構難しいときがあります。

今回は「外接円の直径\(2R\)について、\(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R\)となることを示したい」というのと「最終的には直径を斜辺とした直角三角形の話にもっていく」というのが証明の軸です。

なので、「外接円を考えて、\(A\)について円周角の定理を上手く使う」ことを考えると\(A\)が鋭角なのか？直角なのか？鈍角なのか？で場合分けをすると、抜けなく・重複なく証明することができます。

こちらも３つの式は証明方法が同じなので、一番上の式「\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{A}\)」を証明します。

せんせ

こちらも図を使って証明していきます。

（証明）

次の図のように、左下に頂点Aを、上に頂点Bを、右下に頂点Cを置き、直線ACに向かって垂線BHを下ろします。

そのHが下りた先が線分AC上にあるのか？Aより左なのか？Cより右なのか？によって場合分けをします。

（ⅰ）Hが線分AC上にあるとき

\(AH = c \cos{A}\)なので、\(CH = AC-AH = b – c \cos{A}\)。

また、\(BH = c \sin{A}\)なので、直角三角形BHCに三平方の定理を使うと、

\(BC^2 = BH^2 + CH^2\)
\(a^2 = c^2 \sin^2{A} + (b – c \cos{A})^2 \)
\(a^2 = c^2 \sin^2{A} + b^2 -2bc \cos{A} + c^2 \cos^2{A}\)
\(a^2 = c^2 (\sin^2{A}+\cos^2{A}) + b^2 -2bc \cos{A}\)
\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{A}\)

（ⅱ）HがAより左にあるとき

\(A\)が鈍角になるのがポイントです。

実際のAHの長さは\(AH = AB \cos{(180°-A)} = – c \cos{A}\)となります。

\(AH = – c \cos{A}\)なので、\(CH = CA + AH = b – c \cos{A}\)。

また、\(BH = c \sin{A}\)なので、直角三角形BHCに三平方の定理を使うと、（ⅰ）と同様の計算になり\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{A}\)

（ⅲ）HがCより右にあるとき

\(AH = c \cos{A}\)なので、\(CH = AH – AC = c \cos{A} – b\)。

また、\(BH = c \sin{A}\)なので、直角三角形BHCに三平方の定理を使うと、

\(BC^2 = BH^2 + CH^2\)
\(a^2 = c^2 \sin^2{A} + (c \cos{A}-b)^2 \)
\(a^2 = c^2 \sin^2{A} + c^2 \cos^2{A} -2bc \cos{A}+ b^2\)
\(a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{A}\)

（終）

こちらも場合分けの判断がわかりにくいですね…。特に教科書などは「\(A\)が鋭角、\(A\)が鈍角、\(C\)が鈍角」など、基準がわかりにくい書き方をしているものもあります。

せんせ

実際はHがどこに落ちるか？によって場合分けをしています。これによって、AHの長さの表し方と、CHの長さの求め方が変わるからです。