置換積分の計算方法のコツとその本質【いくつかのパターン別に解説】

（解答）

\((2x+1)^5\)は展開するのが面倒なので、この\(2x+1=t\)と置き換えます。

\(\displaystyle x = \frac{1}{2}t – \frac{1}{2} \) として、\(\displaystyle dx = \frac{1}{2}dt\)と計算してもいいですが、

\(2x+1=t\)を、形式的に左辺を\(x\)で微分して\(dx\)をつけて、右辺を\(t\)で微分して\(dt\)をつければOKです。つまり、

\(2x+1=t\)より、

\(2 \cdot dx = 1 \cdot dt \)（←左辺は\(x\)で微分、右辺は\(t\)で微分してそれぞれ\(dx\)、\(dt\)をつける。）

\(2dx=dt\)

また、\(2x = t-1\)なので、

\(\displaystyle \int (2x+1)^5 \cdot 4x dx = \int (2x+1)^5 \cdot 2x \cdot 2 dx \)

\(\displaystyle \quad = \int t^5 (t-1) dt= \int (t^6 -t^5) dt\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{7}t^7-\frac{1}{6}t^6+C\)（\(C\)は積分定数）

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{42}t^6(6t-7)+C\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{42}(2x+1)^6(12x-1)+C\)…（答）（←\(t\)は自分で勝手に置いた変数なので、元の\(x\)の式に戻しておく）

定積分なら\(x\)の式に戻す必要もない（積分区間も適切に置き換えて最後まで計算してしまうから）ですが、不定積分はまとめて\(x\)の式に戻しておきましょう。

せんせ

積分結果やシグマ計算などは、どのくらいまとめるか…というのはなかなか基準が難しいです汗

（解答）

\(\displaystyle \int \frac{1}{e^x-e^{-x}}dx =\int \frac{e^x}{\{e^x\}^2-1}dx\)

なので、\(e^x=t\)と置きたくなりますよね。

先ほどと同様に、\(e^x=t\)の左辺を\(x\)で微分して\(dx\)をつけて、右辺を\(t\)で微分して\(dt\)をつけます。

\(e^xdx=dt\)

ラッキーなことに、\(\displaystyle \frac{e^x}{\{e^x\}^2-1}\)の分子に\(e^x\)があるので、これと\(dx\)を合わせて（\(e^xdx\)として）\(dt\)に置き換えます。

つまり、

\(\displaystyle \int \frac{1}{e^x-e^{-x}}dx =\int \frac{e^x}{\{e^x\}^2-1}dx\)

\(\displaystyle \quad = \int \frac{dt}{t^2-1}\)

と置き換えることができます。

せんせ

ここからは部分分数分解という積分のテクニックの話になりますね。

\(\displaystyle \quad = \int \frac{dt}{t^2-1}=\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt\)

\(\displaystyle \quad = \int \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right) dt\)（←部分分数分解）

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2} \{ \log{(t-1)}-\log{(t+1)} \} +C\)（\(C\)は積分定数）

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2} \log{\left( \frac{t-1}{t+1} \right) } +C\)

\(\displaystyle \quad = \frac{1}{2} \log{ \left( \frac{e^x-1}{e^x+1} \right) } +C\)…（答）

（解答）

せんせ

この積分は、置き換えの決まり手があります！

結論、\(x = \sin{t}\)と置いてください！これで置換していきます。

せんせ

今回は積分区間もあるので、そこまで置き換えていきます。

まず、積分区間は

\(\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \rightarrow & 1 \\
\hline
t & 0 & \rightarrow & \frac{\pi}{2}
\end{array}\)
となります。本当なら\(\sin{t}=0\)などをガチンコで解かないといけませんが、単位円をイメージしてもらえると考えやすいですね。

せんせ

三角方程式や三角不等式は単位円をイメージしてビジュアルで解く方が早く正確に解けます！

また、\(x = \sin{t}\)より\(dx=\cos{t}dt\)。よって、

\(\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sqrt{1-\sin^2{t}}\cos{t}dt\)

\(\displaystyle \quad= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2{t}}\cos{t}dt\)

\(\displaystyle \quad= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\cos{t}|\cos{t}dt\)

\(\displaystyle \quad= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2{t}dt\)（←\(\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)のとき\(\cos{t} \geq 0\)だから、絶対値はそのまま外せる。）

\(\displaystyle \quad= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos{2t}}{2}dt\)

\(\displaystyle \quad= \frac{1}{2} \left[ t + \frac{1}{2}\sin{2t} \right] _{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle \quad= \frac{1}{2} \left\{ \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right)- \left( 0 + 0 \right) \right\}=\frac{\pi}{4}\)…（答）

ちなみに、積分の中身を\(y=\sqrt{1-x^2}\)とおくと、\(x^2+y^2=1\)と変形できます。

つまり、\(y=\sqrt{1-x^2}\)は原点中心、半径１の円の上の半分を表す関数になります。

ですので、これを\(x:0 \rightarrow 1\)で積分する、ということは、円の\(\displaystyle \frac{1}{4}\)の面積を求めることになります。

なので、\(\displaystyle \frac{1}{4} \cdot \pi 1^2 = \frac{\pi}{4}\)となります。