ベータ関数の性質をわかりやすく解説！【1/6公式や三角関数との関係も】

（証明）

せんせ

…ひたすら部分積分です！
計算ミスしないようにしましょう！

\(\displaystyle B(p, q) = \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \)

\(\displaystyle \quad = \left[ \frac{1}{p}x^p(1-x)^{q-1} \right]_0^1-\int_0^1 \frac{1}{p}x^p\{-(q-1)\}(1-x)^{q-2}dx\)

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p}\int_0^1 x^p(1-x)^{q-2}dx\)

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p}B(p+1,q-1)\)

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} B(p+2,q-2)\)

\(\quad \cdots\)

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{p+q-2} B(p+q-1,1)\)…※

ここで、

\(\displaystyle B(p+q-1,1) = \int_0^1 x^{p+q-2}(1-x)^{0} dx = \int_0^1 x^{p+q-2} dx\)

\(\displaystyle \quad = \left[ \frac{1}{p+q-1}x^{p+q-1} \right]_0^1 = \frac{1}{p+q-1}\)

なので、

\(\displaystyle B(p, q) = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{p+q-2} \cdot \frac{1}{p+q-1}\)

\(\displaystyle \quad = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\)

せんせ

ちなみに、※の部分のコツをちょっと詳しく説明します。ここからは「このくらいの部分積分の計算はできるよ！」という人は飛ばしてOKです！

この部分が苦手、というひとが多いんですよね。ちょっとしたコツを教えます。

※部分の解説

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} B(p+2,q-2)\)

\(\quad \cdots\)

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{p+q-2} B(p+q-1,1)\)

コツは、分数部分と他の部分がどのようにリンクしているか、というのを確認していきます。

せんせ

まずは１行目で確認します。

\(\displaystyle \quad = \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} B(p+2,q-2)\)

\(\displaystyle \frac{q-2}{p+1} B(p+2,q-2)\)。この分子\( (q-2) \)と\(B(p+2,q-2)\)の\(q-2\)の部分は同じですよね？①ここは同じ、という判断です。

次に分母\( (p+1) \)と\(B(p+2,q-2)\)の\(p+2\)の部分を比べると、②分母の方が1少ない、という関係です。

最後に、\(B(p+2,q-2)\)の\((p+2)\)と\((q-2)\)を比べると\(p\)は\(+2\)、\(q\)は\(-2\)されていることがわかります。つまり③同じ値だけ\(p\)は加える、\(q\)は引く、という関係になっています。

もしくは③足したら\(p+q\)になる、でもいいかもしれません。こっちの方が簡単かも…。

この関係を押さえておきながら、最後の\(\displaystyle \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{p+q-2} B(p+q-1,1)\)がどうなるか確認していきます。特に最後の\(\displaystyle \frac{1}{p+q-2} B(p+q-1,1)\)の部分です。

最終的に \(B(□,1)\)のように、最後が1になればOKです。このとき、□や一つ手前の分数がどうなるか？を考えていきます。

まずは①ここは同じ、という点について。手前の分数の分子は\(B(□,1)\)の1と同じになるので、\(\displaystyle \frac{1}{○}\)となります。

次に②を考えたいところですが、\(B(□,1)\)の□の部分がわからないと判断できないので、先に③同じ値だけ\(p\)は加える、\(q\)は引くを考えます。

この「同じ値だけ」というところがラストの山ですね。

「\(q\)は引く、そしてその結果が1」となるので、簡単な計算で確認できます。\(q-x = 1\)となる\(x\)を求めればOKですね。

答えは\(x=q-1\)。つまりこの「同じ値、というのは\(q-1\)」なので、\(B(□,1)\)の□の部分は\(p+(q-1)=p+q-1\)となります。

もしくは、③足したら\(p+q\)になる、と考えると\(□+1=p+q\)。つまり、\(□=p+q-1\)、でもOKです。やっぱりこっちの方が簡単かも…。

最後、②分母の方が1少ないというのを考えると、手前の分数\(\displaystyle \frac{1}{○}\)の○部分は\(p+q-1-1=p+q-2\)となります。

これで、\(\displaystyle \frac{q-1}{p} \cdot \frac{q-2}{p+1} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{p+q-2} B(p+q-1,1)\)の完成です。

コツは「どの部分が同じなのか？」「どの程度変わるのか？」「同じだけ足したり引いたりしている部分は足してみると一定の値になる」など、変わる部分、変わらない部分を押さえていく、という点です。

せんせ

数列なんかでもよく出てくる考え方です。苦手な人は一度練習してみましょう！

（証明）

\(\displaystyle B(p, q) = \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \)について、

\(1-x = t\)と置くと、\(x:0 \to 1\)のとき\(t: 1 \to 0\)、

\(x = 1-t\)より\(dx = -dt\)なので、

\(\displaystyle B(p, q) = \int_1^0 (1-t)^{p-1} t^{q-1} (-dt) \)

\(\displaystyle \quad = \int_0^1 t^{q-1}(1-t)^{p-1} dt=B(q,p) \)（←積分変数については、\(x\)だろうが\(t\)だろうが、形が同じであれば式として同じ）（終）

まずは置換積分で次の式を導いていきます。

\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (t-\alpha)^{p-1}(\beta – t)^{q-1}dt = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}(\beta-\alpha)^{p+q-1}\)

\(\displaystyle \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \)の\(x\)を用いて、\(t=(\beta – \alpha)x+\alpha\)と置きます。

すると、\(x:0 \rightarrow 1\)のとき、\(t: \alpha \rightarrow \beta\)となります。

さらに、\(\displaystyle x = \frac{t-\alpha}{\beta-\alpha}\)、\(\displaystyle 1-x = 1-\frac{t-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac{\beta-t}{\beta-\alpha}\)となるので、

\(\displaystyle dx = \frac{1}{\beta-\alpha}dt \)

\(\displaystyle \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx = \int_\alpha^\beta \frac{1}{(\beta-\alpha)^{p-1}}(t-\alpha)^{p-1}\frac{1}{(\beta-\alpha)^{q-1}}(\beta – t)^{q-1}\frac{1}{\beta-\alpha}dt \)

\(\displaystyle \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!} = \frac{1}{(\beta-\alpha)^{p+q-1}} \int_\alpha^\beta (t-\alpha)^{p-1}(\beta – t)^{q-1}dt \)

\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (t-\alpha)^{p-1}(\beta – t)^{q-1}dt = \frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}(\beta-\alpha)^{p+q-1}\)

せんせ

この式を導くことができたら、あとは簡単！
\(p=q=2\)を代入すれば1/6公式が出てきます！

\(\displaystyle \int_\alpha^\beta (t-\alpha)(\beta – t)dt = \frac{1!1!}{3!}(\beta-\alpha)^{3}=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

（証明）

\(\displaystyle B(p, q) = \int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \)

ここで、\(x= \sin ^2 {\theta}\)とおくと、

\(x: 0 \rightarrow 1\)のとき\(\displaystyle \theta : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}\)、

\(dx = 2 \sin{\theta}\cos{\theta} d\theta\)

\(\displaystyle B(p,q) = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin ^{2p-2}{\theta} (1-\sin^2{\theta})^{2q-2} 2 \sin{\theta}\cos{\theta} d\theta \)

\(\displaystyle \quad = 2\int_0^\frac{\pi}{2} \sin ^{2p-1}{\theta} \cos^{2q-1}{\theta} d\theta\)

上の式※※に\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\)、\(\displaystyle q=\frac{1}{2}\)を代入すると、

\(\displaystyle B \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) =2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^0\theta \cos^0\theta d\theta= 2\int_0^\frac{\pi}{2} d\theta = \pi \)