反復試行の確率は覚えてはいけない！？反復試行の確率の本質的な理解！

反復試行の確率は確率の中でも「複雑で分かりにくい」と思う人が多い公式・考え方です。

ですが、「なにをやっているか？」をしっかりと押さえておくと、とたんに公式の見え方が変わってきます。

反復試行の確率は、１度その本質を納得いくまで勉強しておきましょう！

反復試行の確率

ということで、反復試行の確率は次のようになります。

ただ、太郎君が言うように複雑ですし、先生が言うように本質を理解した方が手っ取り早いので、「公式を覚える」というよりも「反復試行がなぜこのような形をしているか？」を説明していきます。

なぜ反復試行の確率に「C」がくっついているのか？

赤が出る→○、赤が出ない→×と表しましょう。

○○×××	○×○××	○××○×	○×××○
×○×○×	××○○×	××○×○	×××○○

そうです。これが\(C\)の正体ですね！「事象Aが起きる場所を\(n\)回の試行から\(r\)か所選ぶ」ということです！

はい、ここから仕上げまで一気にいきます！この「\(C\)は事象Aが\(n\)回中\(r\)回起きるパターン数だ」ということは最重要事項なので押さえておいてください。

○○×××	\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
○×○××	\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
○××○×	\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
○×××○	\(\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
×○○××	\(\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
×○×○×	\(\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
×○××○	\(\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
××○○×	\(\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
××○×○	\(\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)
×××○○	\(\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{1}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)\left( \frac{2}{3} \right)=\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)

これが２つ目のポイントです！どのパターンも全て同じ確率、\(\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)になります。

よって、\(\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)となる確率が\(_5C_2\)パターンあるので、計算方法としては、\(\displaystyle _5C_2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)となるのです。

まとめると、

• \(_nC_r\)は「Aが起きる→○」「Aが起きない→×」の並べ方のパターン数を数えている。
• \(p^rq^{n-r}\)はそのパターン一つ一つが起きる確率で、全てのパターンで同じである。

この２点を押さえていればOKです！

もう少し反復試行の確率を深掘りする

例えば、\(\displaystyle _5C_2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)の「\(C\)」についてですが、\(_5C_2\)を\(_5C_3\)としてもOKです。

その通りです！つまり「○を書く場所を選ぶ代わりに×を書く場所を選ぶ」と計算してもOKですよね。

つまり、\(\displaystyle _5C_3 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)と計算することもできます。

\(C\)は「○×の並べ方のパターン数」のことなので、単純に「○×の並べ方」と捉えてもいいです。つまり、「同じものを含む順列」として計算してもOKです。

今回の場合、「５つの○×を並べるのですが、そのうち○２つ、×３つは同じものと見なす」ので、\(_5C_2\)の代わりに、

\(\displaystyle \frac{5!}{2!3!}\)

と計算することもできます。

つまり、\(\displaystyle \frac{5!}{2!3!} \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3\)となります。

反復試行の応用

まとめ

反復試行の確率についての説明でした。

反復試行の確率は「覚えよう」とする人が多いのですが、わかりにくいですし、丸暗記は効率がよくありません。

しかも、このあと「二項定理」や「二項分布」の話でも全く同じ考え方をするので、理屈を押さえておいた方が逆に覚えやすいです。