10進数を2進数に変換する方法と「N進数の本質」をわかりやすく説明

10進数を2進数に変換する方法と、なぜその方法で2進数に変換できるのか？の原理を説明します。

これが理解できれば、N進数は怖くありません。

そもそも10進数や2進数とは

我々は普段、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10種類の数字を使っています。

数を数えるとき、「0、1、2、3、4、5、6、7、8、9」と数えたら、次は「10（ジュウ）」ですよね。

このとき何が起きているかというと、新たな種類の数字が現れたのではなく、位上がりが起きて「十の位が1、一の位が0」という構造をもった数になります。

10種類の数字を使い、各位が10になった時点で位上がりが起きる。この仕組みで表記する方法を10進数と言います。

まったく同じようにして、2進数も定義することができます。

2進数は0、1の2種類の数字を使います。「0、1」と数えたら、次は2なのですが、ここは0と1しか数字の種類を知らない体（てい）で「10\(_{(2)}\)（イチゼロ）」（＝10進数で「2」のこと）と表記して、位上がりが起きます。ちなみに、10\(_{(2)}\)は「2進数表記ですよ＝１０進数のジュウじゃないですよ」の意味です。

つまり、2種類の数字を使い、各位が「10\(_{(2)}\)（イチゼロ）」（＝10進数で「2」）になった時点で位上がりが起きる。この仕組みで表記する方法を2進数と言います。

ちなみに２進数や１６進数が比較的有名なのは、パソコンのIPアドレスやカラーコードなどによく使われるからです。

まずは2進数に変換する方法の説明

10進数の数をどんどん2で割っていきます。そして、余りを下から順に書いていけば2進数に変換することができます。

例．１０進数の２１を２進数に変換してみます。

普通、教科書などでは手順５「商の１を割って０余り１まで書く」をしません。必ず、（最後の余り１）＝（前段階の商１）となるので、最後の余りは前段階の商の１をもってきます。

ただし、原理の理解をするには最後まで割って０余り１まで書いた方がいいでしょう。

とりあえず１０進数から２進数への変換ができれば良い、という人はここまでで大丈夫です。

なぜこの方法で2進数に変換できるのか

ここからが本題です。なぜ、この方法で2進数に変換できるのか、を説明します。この原理を知れば、N進数の基本が理解できます。

N進数とは

N進数とは、数を以下のように各位に分けて記述する方法です。

$$ a_n \cdot N^n + a_{n-1} \cdot N^{n-1} + \cdots + a_2 \cdot N^2 + a_1 \cdot N^1 + a_0 \cdot N^0 $$

それぞれの係数\(a_k\) \(（0 \leq k \leq n）\)の取り得る値は\(0 \leq a_k \leq N-1 \)で、\(a_k=N\)になったら位上がりが起きる、という構造になっています。

このように、N進数は「各\(N^n\)の位がいくつあるのか」と「それがN個になった時点で位上がりが起きる」という仕組みになっています。

10進数を2進数に変換する、とは

１０進数を２進数に変換する、とは

$$ a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \cdots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 1 $$

$$ = b_n \cdot 2^n + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + b_2 \cdot 2^2 + b_1 \cdot 2^1 + b_0 \cdot 1 $$

$$ (0 \leq a_k \leq 9,0 \leq b_k \leq 1) $$

の形にする、ということです。（実際は１０進数の\(n\)と２進数の\(n\)は異なる値です。）

これを踏まえた上で、冒頭の10進数の数を2進数に変換する方法について考えてみます。

$$ b_n \cdot 2^n + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + b_2 \cdot 2^2 + b_1 \cdot 2^1 + b_0 \cdot 1 $$

と表そうとしているので、各\( b_{なんとか}\)を求めればよい、ということになります。

ここで、冒頭の10進数を2進数に直す方法に立ち返ってみると、その数をどんどん2で割って余りを順に並べていく、という作業をしています。

$$ a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \cdots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 1 $$

を２で割っているわけですね。しかし、

$$ a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \cdots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 1 $$

$$ =b_n \cdot 2^n + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + b_2 \cdot 2^2 + b_1 \cdot 2^1 + b_0 \cdot 1 $$

なので、10進数を2で割る、ということは、２行目の

$$ \color{#009e73}{b_n \cdot 2^n + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + b_2 \cdot 2^2 + b_1 \cdot 2^1} + \color{#bc69f8}{b_0 \cdot 1} \cdots① $$

の式を2で割ることと同じです。しかし、ここで考えてほしいのは、

$$ \color{#009e73}{b_n \cdot 2^n + b_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \cdots + b_2 \cdot 2^2 + b_1 \cdot 2^1} $$

の部分は全て2で割り切れる、ということです。なので、余り（0か1）は、

$$ \color{#bc69f8}{b_0 \cdot 1} $$

と等しくなります。 (\(b_0 \cdot 1 = b_0\)で、\(0 \leq b_0 \leq1\)なので。）

つまり、①を2で割ったとき、

商　\( b_n \cdot 2^{n-1} + b_{n-1} \cdot 2^{n-2} + \cdots + b_2 \cdot 2^1 + b_1 \cdot 1 \)

余り　\( b_0 \)

となることがわかります。商の\( 2^k \)の次数が一つずつ下がっていることもポイントです。

ということで、1回目2で割ったときの余り=\(b_0\)となることがわかりました。

このときの商をさらに2で割ると、

商　\( b_n \cdot 2^{n-2} + b_{n-1} \cdot 2^{n-3} + \cdots + b_2 \cdot 2^0 \)

余り　\( b_1 \)

となります。商の\( 2^k \)の次数が先ほどの商よりさらに一つ下がっていますね。これを繰り返していってそれぞれの余りを考えると、\( b_0 \)、\( b_1 \)、…\( b_{n-1} \)、\( b_n \)が順に得られるので、これを逆から並べると、2進数に直せる、という原理になります。

おまけ「３進数に変換してみる」

１０進数を２進数に変換する要領で、３進数にも変換可能です。

例．１０進数の２１を３進数に変換してみる。

３で割っていくと、

\(21=\color{#bc69f8}{2} \cdot 3^2+\color{#bc69f8}{1} \cdot 3^1+\color{#bc69f8}{0 }\cdot 1\)

の０、１、２が順番に余りとして出てきます。

まとめ

N進数に変換するという操作には、数学的に2つの重要な点があります。

①「N進数の構造がわかる」

今回は触れませんでしたが、小数に関しても、

　$$ c_1 \cdot N^{-1} + c_2 \cdot N^{-2} + \cdots +c_n \cdot N^{-n} $$

　となることが自然な流れで理解できます。（マイナス乗については、指数関数の分野で学習します。）

② 「余りは割れる保証があるところからは出てこない。逆に割れる保証がないところから出てくる。」

これは割り算の余りの話をするときによく使う考え方です。数学IIの整式の割り算のところでも同じような考え方をする問題が出てくるので、覚えておきましょう。

今回は、N進数の位が大きい部分ほどNで割れる保証がある、つまり、

（余り）＝（割れる保証のない一番下の位）

となることがポイントです。

商をさらに割ることで（次の余り）＝（次の位）、（その次の余り）＝（その次の位）、、、が順番に出てきます。