二次式 (2x^2 + 7x – 15) の因数分解は、「ac法（たすき掛け）」をしっかり理解すると安定して解けるようになります。

① 基本の考え方（ac法）

まず形を確認します：
(ax^2 + bx + c)

このとき

• \(a \times c\) を計算する
• その数になる2つの数で、足すと b になる組を探す

今回なら

• \(a=2, b=7, c=-15\)
• \(ac = 2 \times (-15) = -30\)

👉 「かけて -30、足して 7」になる2数を探す
→ (10) と (-3)

② 真ん中の項を分解

\(2x^2 + 7x -15 = 2x^2 + 10x – 3x -15\)

③ グループ分けしてくくる

\(= (2x^2 + 10x) – (3x + 15)\)
\(= 2x(x+5) -3(x+5)\)

④ 共通因数でまとめる

\(= (2x -3)(x +5)\)

✔ 最終結果

\( 2x^2 + 7x -15 = (2x -3)(x +5) \)

🔑 解くときのコツ（超重要）

1. 「acを先に作る」クセをつける

いきなり分解しようとしない
👉 必ず「\(ac\) → 足して \(b\)」の順

2. 符号の見分け

• \(ac < 0\) → プラスとマイナスの組
• \(ac > 0\)
  • \(b > 0\) → 両方プラス
  • \(b < 0\) → 両方マイナス

👉 今回は \(ac<0\) なので符号が異なる

3. 数字が見つからないとき

• 約数を全部書く（地味だけど最強）
  • 30 → 1,2,3,5,6,10,15,30
• 近い数から試す（7に近い → 10と3）

4. 最後は必ず展開して確認

\( (2x -3)(x +5) \)
→ 展開して元に戻るかチェック

🧠 よくあるミス

• いきなり「\(2x ?\)\(x ?\)」と当てに行く
• 符号ミス（特にマイナス）
• 真ん中の分解を飛ばす

✏️ 類題で練習（おすすめ）

同じパターン：

• \(3x^2 + 11x + 6\)
• \(2x^2 – x – 6\)
• \(4x^2 + 4x – 3\)

必要なら「見ただけで一瞬で分解できるコツ（裏ワザ）」も教えるよ。

二次三項式の因数分解のポイントをまとめます。

\(2x^2 + 7x – 15\) の因数分解

解き方（たすき掛け）

\(ax^2 + bx + c\) の形で \(a \neq 1\) のときはたすき掛けを使います。

\(2x^2 + 7x – 15 = (2x – 3)(x + 5)\)

たすき掛けの手順

① \(a \cdot c\) を求める

\(2 \times (-15) = -30\)

② 掛けて \(-30\) 、足して \(b=7\) になる2数を探す

③ たすき掛けの表を書く

\(\begin{array}{ccc} 2 & & -3 \ & \searrow\swarrow & \ 1 & & 10 \end{array}\)

• \(2 \times 10 = 20\) （右上×左下）
• \(1 \times (-3) = -3\) （右下×左上）
• \(20 + (-3) = 17\) …❌ → 組み合わせを変える

\(\begin{array}{ccc} 2 & & 5 \ & \searrow\swarrow & \ 1 & & -3 \end{array}\)

• \(2 \times (-3) = -6\)
• \(1 \times 5 = 5\)
• \(-6 + 5 = -1\) …❌ → まだ合わない

\(\begin{array}{ccc} 2 & & -3 \ & \searrow\swarrow & \ 1 & & 5 \end{array}\)

• \(2 \times 5 = 10\)
• \(1 \times (-3) = -3\)
• \(10 + (-3) = 7\) ✅

→ 答え：\((2x – 3)(x + 5)\)

類題を解くコツ

① まず共通因数を取り出す（最優先！） \(4x^2 + 14x – 30 = 2(2x^2 + 7x – 15)\)

② \(ac < 0\) （積が負）なら符号が異なる2数を探す
→ 今回のように「\(-30\) になる組」→ 符号が必ずバラバラ

③ \(ac > 0\) （積が正）なら符号が同じ2数を探す
→ \(b\) の符号に合わせて両方プラス or 両方マイナス

④ 展開して検算する癖をつける \((2x – 3)(x + 5) = 2x^2 + 10x – 3x – 15 = 2x^2 + 7x – 15 \)✔

⑤ 因数分解できない場合
判別式 \(D = b^2 – 4ac\) を計算して \(D < 0\) なら実数の範囲では因数分解不可。

まとめフロー

共通因数？ → あれば先に括り出す
     ↓
a = 1？ → たすき不要、普通の2数探し
     ↓
a ≠ 1 → ac を計算 → 和がbになる2数を探す
     ↓
展開して検算

「掛けて \(ac\) 、足して \(b\) 」この一言を軸に数の組み合わせを絞り込むのが最大のコツです！

\(2x^2 + 7x – 15\) のような、 \(x^2\) の係数が「1以外」の式を因数分解するときは、「たすき掛け」をマスターするのが一番の近道です。

類題にも対応できるよう、手順とコツを整理しました。

1. たすき掛けの手順

\(2x^2 + 7x – 15\)

1. 「かけて \(2\) 」になる組み合わせを探す
   • \(1 \times 2\)しかありません。
2. 「かけて \(-15\) 」になる組み合わせを探す
   • \(1 \times (-15)\)、 \(3 \times (-5)\)、 \((-3) \times 5\) など。
3. 斜めに計算して、和が中央の「\(+7\)」になるペアを見つける

この組み合わせが正解です！

2. 答えの書き方

横に並んだ数字をそのままカッコに入れます。左側には \(x\) をつけるのを忘れないようにしましょう。

• 上段： \(1\) と \(5\) \(\rightarrow (x + 5)\)
• 下段： \(2\) と \(-3\) \(\rightarrow (2x – 3)\)

答え： \( (x + 5)(2x – 3) \)

3. 類題を解くための「3つのコツ」

どんな問題が出ても迷わないためのポイントです。

① 符号の「アタリ」を付ける

• 定数項（最後）が マイナス なら、カッコ内の符号は プラスとマイナス になります。
• 定数項が プラス なら、カッコ内の符号は 両方同じ（中央の符号に合わせる）です。
• 今回のように最後が \(-15\) なら、必ず「異符号の組み合わせ」を探せばOKです。

② 「大きい数字」をどこに作るか考える

中央が \(+7\) と比較的大きいときは、たすき掛けの片方で大きな数字（今回なら \(2 \times 5 = 10\)）を作るように配置すると、正解に早くたどり着けます。

③ 共通因数を先に括り出す（最重要！）

もし式が \(4x^2 + 14x – 30\) のように「全部 2 で割れる」場合は、先に \(2(2x^2 + 7x – 15)\) と括り出してからたすき掛けをしましょう。これだけで計算ミスが激減します。

ちょっとした練習：

もし \(3x^2 – 5x – 2\) という問題が出たら、どう組み合わせますか？

「かけて \(3\)」は \(1, 3\)、「かけて \(-2\)」は \(1, -2\) か \(-1, 2\)。斜めに計算して \(-5\) を作るには…と考えてみてくださいね。

PDFの内容がかなり崩れているけど、全体を見ると「数列（漸化式）＋一般項の推定・決定」がテーマの典型問題だね。これをベースにポイントとコツを整理するよ。
（元問題の参照：）

🔑 この問題のポイント

① 「差をとる」発想が中心

• 与えられた数列 ( a_n, b_n, c_n ) などについて
  → 隣同士の差（差分）を考える
• 例：
  • ( d_n = a_{n+1} – a_n )
• すると問題が
  • 「複雑な数列」 → 「扱いやすい数列」
    に変わる

👉 特に今回：

• (2^n) みたいな指数が出てくる
  → 差をとると整理しやすい

② 「典型形を仮定する」

途中で出てくる重要な形：

• ( c_n = (pn + q) + 2^n )

👉 これは超重要パターン

• 多項式（一次）＋指数関数

理由

• 差をとると：
  • 多項式 → 次数が1つ下がる
  • 指数 → そのまま扱える

③ 係数比較で決める

仮定したら：

• 左辺と右辺を比べて
  → (p, q) を決める

👉 これが「係数比較」

④ 初期条件で定数決定

最後に：

• ( n=1 ) などを代入して
• 未知の定数を決める

🧠 解き方の流れ（テンプレ）

このタイプは毎回ほぼ同じ：

① 差をとる
→ ( d_n = a_{n+1} – a_n )

② 簡単な形にする
→ 等差・等比・指数などに分解

③ 一般項を予想
→ ( (pn+q) + 2^n ) など

④ 代入して係数比較
→ ( p, q ) を求める

⑤ 初期条件で確定

⚠️ よくあるミス

• ❌ いきなり一般項を作ろうとする
  → まず差をとる
• ❌ 仮定の形が弱い
  → 指数があるなら必ず入れる
• ❌ 初期条件を忘れる
  → 最後に絶対必要

💡 類題でのコツ

コツ①：「分解できるか？」を考える

見た瞬間に：

• 多項式っぽい？
• 指数ある？
• 交互符号ある？

👉 パーツに分ける

コツ②：「差をとれば勝ち」な問題を見抜く

次の特徴があればほぼ確定：

• 漸化式がゴチャゴチャ
• (2^n), (n^2) が混ざる
• 隣同士の関係がある

👉 → 差分をとる

コツ③：「形を覚える」

よく出る形：

• ( a_n = pn + q )
• ( a_n = 2^n )
• ( a_n = (pn+q) + 2^n )

👉 これを“型”として覚える

コツ④：部分点戦略

試験では：

• 差をとるだけで点が出る
• 仮定を書くとさらに加点

👉 完答できなくても途中を書く

✍️ まとめ

この問題の本質は：

👉 「複雑な数列を差分で分解して、典型形に落とす」

もしよければ、
この問題を「実際に一緒に解く形」で解説もできるよ。

数学II・B 第4問（数列）のポイントまとめ

問題の構造

この問題は「階差数列」をテーマにした問題で、3つの設問で構成されています。

各設問のポイントと解き方

(1)(i) 基本確認

\(b_n = 4n-1\) で \(a_1 = 1\) のとき、具体的な値を求める問題。

解き方：

• \(b_1 = 4(1)-1 = 3\)（ア）
• \(a_2 = a_1 + b_1 = 1 + 3 = 4\)（イ）
• \(b_2 = 4(2)-1 = 7\)（ウ）
• \(a_3 = a_2 + b_2 = 4 + 7 = 11\)（エオ）

コツ： \(b_n = a_{n+1} – a_n\) の定義を確実に押さえる。

(1)(ii) 一般項の導出

\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)\)

コツ： 上限が \(n-1\)（カの答え：⓪ \(n-1\)）であることに注意！

\(a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}(4k-1) = 1 + 4\cdot\frac{(n-1)n}{2} – (n-1)\)

\(= 1 + 2n(n-1) – (n-1) = 2n^2 – 3n + 2\)

よって キ＝2、ク＝3、ケ＝2

⚠️ この公式は \(n=1\) のとき別途確認が必要（通常は成立することを確かめる）

(2) 太郎さんのアイデア：逆引き法で和を求める

発想のポイント（最重要！）：

数列 \( \{d_n\} \) の和を求めたいなら、階差数列が \( \{d_n\}\) になるような \( \{c_n \}\) を見つければよい \(\sum_{k=1}^{n} d_k = c_{n+1} – c_1\)

\(d_n = (2n+1)\cdot 2^n\) に対し \(c_n = (pn+q)\cdot 2^n\) と置く。

\(c_{n+1} – c_n = {(p+2q) \cdot n + (2p+q)} \cdot 2^n… \)

正確に計算すると：

\(c_{n+1} – c_n = (p(n+1)+q)\cdot 2^{n+1} – (pn+q)\cdot 2^n\)

\(= 2^n{2p(n+1)+2q – pn – q} = 2^n{pn + (2p+q)}\)

これが \((2n+1)\cdot 2^n\) と等しいから：

• \(p = 2\)（シ）、\(2p+q = 1\) より \(q = -3\)（スセ）

よって \(c_n = (2n-3)\cdot 2^n\)

\( \sum_{k=1}^{n} d_k = c_{n+1} – c_1 = (2n-1)\cdot 2^{n+1} – (-1)\cdot 2 = (2n-1)\cdot 2^{n+1} + 2\)

ソ＝④ \(2n-1\)、タ＝2

(3) 花子さん：2次×指数型への応用

\(d_n = (n^2 – n – 1)\cdot 2^n\) に対し、\(c_n = (an^2 + bn + c)\cdot 2^n\) と置いて同様に計算。

\(c_{n+1} – c_n\) を展開して係数比較すると、チ・ツが求まる。

\(\sum_{k=1}^{n} d_k = (n^2 – 3n + 3)\cdot 2^{n+1} – 6\)

チ＝⑦ \(n^2-3n+3\)、ツ＝6

類題対策：解き方の流れ

【階差数列の問題フローチャート】

① a_n を求めたい
   → a_n = a_1 + Σ(k=1 to n-1) b_k を使う
   ※ 上限は n-1 に注意！

② Σd_n（和）を求めたい
   → c_{n+1} - c_n = d_n となる c_n を探す
   → d_n の形に合わせて c_n の形を仮定
      ・d_n が (1次式)×(等比) → c_n も同じ形
      ・d_n が (2次式)×(等比) → c_n も同じ形
   → 係数比較で p, q を決定
   → Σd_k = c_{n+1} - c_1

まとめ：よく出るミスと対策

ご提示いただいた問題は、共通テスト（数学II・B・C）の数列分野における「階差数列」と「和の求め方の工夫」に関する典型的な良問です。

この問題のポイントと、類題で役立つ解き方のコツを整理しました。

1. この問題の重要ポイント

この問題は大きく分けて2つのセクションで構成されています。

① 階差数列の基本（第4問(1)）

• 定義の理解: 数列 \(\{a_n\}\) の隣り合う項の差 \(a_{n+1} – a_n\) が階差数列 \(\{b_n\}\) であるという基本事項。
• 一般項の公式: \(n \geq 2\) のとき、\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k\) を用いて一般項を導き出すプロセス。

② 「和」を求めるための新しい発想（第4問(2), (3)）

ここがこの問題の核心です。通常、和 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} d_k\) を求めるには公式を使いますが、ここでは「差の形を作る」という考え方が示されています。

• 恒等式の利用: \(d_n = c_{n+1} – c_n\) となるような数列 \(\{c_n\}\) を見つければ、\(\sum d_k\) は「中身が消し合って最初と最後だけ残る」形（望遠鏡和）になります。
• 未定係数法: 数列 \(\{c_n\}\) の形を \((pn+q) \cdot 2^n\) のように予想し、係数を比較して \(p, q\) を決定する手法。

2. 類題が出たときのために！解き方のコツ

コツ①：和の計算は「引き算の形」を真っ先に疑う

公式が使えない複雑な数列（例：(1次式)×(等比数列)など）の和を求めるときは、「\(k\) 項めを \(f(k+1) – f(k)\) の形に変形できないか」を考えます。

これさえできれば、和は以下のように瞬時に求まります。

\(\sum_{k=1}^{n} (f(k+1) – f(k)) = f(n+1) – f(1)\)

コツ②：数列 \(c_n\) の形は「\(d_n\) の形」に合わせる

問題(2)や(3)のように \(c_n\) を自分で予想する場合、以下のルールが基本です。

• \(d_n\) が (nの1次式) \(\times 2^n\) なら、 \(c_n\) も (nの1次式) \(\times 2^n\) とおく。
• \(d_n\) が (nの2次式) \(\times 2^n\) なら、 \(c_n\) も (nの2次式) \(\times 2^n\) とおく。 ※ 指数部分（\(2^n\) など）は変えずに、前の多項式の次数を合わせるのがコツです。

コツ③：指数計算のケアレスミスを防ぐ

\(c_{n+1} – c_n\) を計算する際、\(2^{n+1}\) を \(2 \cdot 2^n\) と書き換えて、\(2^n\) でくくる計算が必ず出てきます。

例： \(c_{n+1} – c_n = (p(n+1)+q) \cdot 2^{n+1} – (pn+q) \cdot 2^n\)

\(= \{ 2(pn + p + q) – (pn + q) \} \cdot 2^n\)

\(= \{ (2p-p)n + (2p+2q-q) \} \cdot 2^n\)

このように、共通因数でくくる前に指数を小さい方に揃えるのが計算ミスのない鉄則です。

3. まとめ：試験場での立ち回り

共通テストのような誘導形式の問題では、「太郎さんの発想」＝「ヒント」です。

1. まず \(c_{n+1} – c_n\) を計算する。
2. それが与えられた \(d_n\) と一致するように文字 \(p, q\) を決める。
3. 最後は \(\sum d_k = c_{n+1} – c_1\) に代入して計算を完了させる。

この流れを意識するだけで、初見の複雑な数列が出てきても落ち着いて対処できるようになります。

ご提示いただいた問題は、「階差数列」と「数列の和」の性質をテーマにした非常に教育的な構成になっています。

この問題の核心は、公式を丸暗記することではなく、「ある数列の和を求めることは、階差数列がその数列になるような元の数列を見つけることと同じである」という視点を持つことです。

以下にポイントと、類題を解くためのコツをまとめました。

1. 問題の重要ポイント

① 階差数列と一般項の関係

数列 \(\{a_n\}\)の一般項は、初項 \(a_1\) と階差数列 \(\{b_n\}\) を用いて以下のように表されます。

\(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)\)

この基本構造が (1) で問われています。

② 「和」を求めるための逆転の発想

通常、和 \(S_n = \sum d_k\) を求める計算は大変ですが、この問題では「\(d_n = c_{n+1} – c_n\) となる数列 \(\{c_n\}\) さえ見つかれば、和は簡単に求まる」という手法を提示しています。 なぜなら、和の形に書くと途中の項がすべて打ち消し合う（相殺される）からです。

\(\sum_{k=1}^{n} (c_{k+1} – c_k) = (c_2 – c_1) + (c_3 – c_2) + \dots + (c_{n+1} – c_n) = c_{n+1} – c_1\)

③ 未定係数法の活用

(2) や (3) では、「（多項式）×（等比数列）」の形をした数列の和を求めています。

• \(d_n\) が「\(n\) の1次式 \(\times 2^n\)」なら、\(c_n\) も「\(n\) の1次式 \(\times 2^n\)」と予想して \(p, q\) を決定します。
• \(d_n\) が「\(n\) の2次式 \(\times 2^n\)」なら、\(c_n\) も「\(n\) の2次式 \(\times 2^n\)」と予想して解いていきます。

2. 類題が出たときの「解き方のコツ」

コツ1：Σの計算を「差の形」に持ち込む

「（多項式）×（等比）」や「分数（部分分数分解が必要なもの）」の和が出たときは、常に 「\(f(k+1) – f(k)\) の形が作れないか？」 と考えてください。

• この形が作れれば、和は 「最後の項の代入結果 － 最初の項の代入結果」 だけで計算が終わります。

コツ2：一般項の形から「アタリ」をつける

問題 (2) のように「一般項 \(c_n = (pn+q) \cdot 2^n\)」と置いて計算させるパターンは頻出です。

• \(d_n\) が \(k\) 次式なら、\(c_n\) も \(k\) 次式で置くのがセオリーです。
• \(c_{n+1} – c_n\) を計算する際は、\(2^n\) でくくって \(n\)についての係数比較（未定係数法）を行いましょう。

コツ3：初項の扱い（\(c_1\)）を忘れない

\(\sum_{k=1}^n d_k = c_{n+1} – c_1\) という式において、最後の定数項（シグマの計算結果の末尾）は必ず\(-c_1\) になります。

• \(c_n\) の式が出た後、\(n=1\) を代入して \(c_1\) を求め、それを引くのを忘れないようにしましょう。

コツ4：具体的に代入して検算する

(1) のような空欄補充（ア、イ、ウ…）では、求めた一般項 \(a_n\) に \(n=1, 2, 3\) を代入して、問題文の条件と一致するか確認するだけでケアレスミスを激減させられます。

まとめ

この問題は、一見複雑な 「（多項式）×（等比数列）の和」 という難所を、「階差数列の逆算」 という強力な武器を使ってスマートに攻略するプロセスを教えてくれています。この「差の形を作る」という考え方は、数学B・Cの数列分野における最強のテクニックの一つです。