2025共通テスト「数学I A」徹底解説！【予備校の解説ではできない私見も】

この記事では2025年1月19日に行われた共通テスト「数学I A」の解説をしていきます！

共通テスト数学ⅠA．第1問

［1］【数と式】

(1) \( (4x^2-1)b+16x-8 = (2x+1)(2x-1) + 8(2x-1) = (2x-1)(2bx+b+8) \)（答）

(2)(i) \( b=2 \)を代入。\( (2a+6)x^2+(5a+11)x-10=0 \)
\( 2(a+3)x^2 + (5a+11)x -10 =0\)
\( (2x+5) \{ (a+3)x-2 \} \)（答）…①

(ii) \( a=2 \sqrt{2}\)のとき、①の右側のカッコから、
\( (2 \sqrt{2}+3)x-2 =0\)
\(\displaystyle x = \frac{2}{2 \sqrt{2}+3}=6-4\sqrt{2} \)（答）

(iii) 「\(a=-3\)」→「\( (2x+5) \{ (a+3)x-2 \}=2x+5 = 0\)。よって解は\(\displaystyle x= -\frac{5}{2}\)のみ」◯
「解が\(\displaystyle x= -\frac{5}{2}\)のみのとき、重解の可能性もアリ。解の一つが\(\displaystyle x =\frac{2}{a+3}\)なので、コレを\(\displaystyle \frac{2}{a+3} = -\frac{5}{2} \)とすると\(\displaystyle a = -\frac{19}{5}\)」
よって「解が\(\displaystyle x= -\frac{5}{2}\)のみ」→「\(a=-3\)」✕。
したがって、十分条件であるが、必要条件ではない。（答）

［2］【図形と計量】

(1)

\( AH = 2 \sin {\alpha} \)（答）
\(PA = 2AH = 4 \sin{\alpha} \)（答）…①
\( PB = 2BH’ = 8 \sin {\beta} \)（答）…②

\(\displaystyle \frac{PA}{\sin {\beta}} = \frac{PB}{\sin {\alpha}} = 2R_1 \)（答）…③
①、②を代入すると、
\(\displaystyle \frac{4 \sin{\alpha}}{\sin {\beta}} = \frac{8 \sin {\beta}}{\sin {\alpha}} \)
\( \sin^2{\alpha} = 2 \sin^2{\beta} \)
\( \sin{\alpha} = \sqrt{2}\sin{\beta}\)（\( \sin{\alpha} > 0、\sin{\beta}>0 \) ）（答）

よって（問題文から）\( PB=\sqrt{2}PA\)

③より \(\displaystyle \frac{PB}{\sin {\alpha}} = 2R_1 \)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}PA}{\sin {\alpha}} = 2R_1 \)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2} \cdot 4\sin{\alpha}}{\sin {\alpha}} = 2R_1 \)（①より）
\( R_1 = 2 \sqrt{2} \)（答）

(2)

よって\( \angle{APB} = 180°-\angle{AQB}\)。
\( \sin{\angle{APB}} = \sin{\angle{AQB}} \)（答）
正弦定理から、\(R_1 = R_2\)となることもわかる。（答）

(3)

正弦定理から\(\displaystyle \frac{AB}{\sin{\angle{APB}}}=2R_1\)
\(\displaystyle \frac{2 \sqrt{7} }{\sin{\angle{APB}}}=4\sqrt{2} \)
\(\displaystyle \sin{\angle{APB}}=\frac{\sqrt{14}}{4} \)（答）

余弦定理より\(28 = x^2 + 2x^2 -2\cdot x \cdot \sqrt{2}x \cos{\angle{APB}} \)
\(\displaystyle 28 = 3x^2 -2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}x^2 \)
\(x^2 = 14\)
\(x = PA = \sqrt{14}\)（\(x>0\)）（答）

共通テスト数学ⅠA．第2問

［1］【2次関数】

(1)

点\( (0,1) \)を通るので、\( y = ax^2 + bx + c \)に代入して\(c=1\)（答）

点\(\displaystyle (-\frac{5}{2},0) \)、\(\displaystyle (\frac{1}{2},0) \)を通るので、
\(\displaystyle y = a \Big( x + \frac{5}{2} \Big)\Big( x – \frac{1}{2} \Big)\)とおける。
\(\displaystyle y = a \Big( x^2 +2x-\frac{5}{4} \Big)=a x^2 + 2a x – \frac{5}{4}a\)…①

定数項部分が1となるので、\(\displaystyle – \frac{5}{4}a=1\)
\(\displaystyle a=- \frac{4}{5}\)
①より\(\displaystyle y = -\frac{4}{5} x^2 – \frac{8}{5} x +1\)（答）

①より\(\displaystyle y = a \Big( x^2 +2x-\frac{5}{4} \Big) = a \Big\{ ( x + 1 )^2 -\frac{9}{4} \Big\} = a( x + 1 )^2 -\frac{9}{4}a\)
\(\displaystyle a=- \frac{4}{5}\)を代入して
\(\displaystyle y = -\frac{4}{5}( x + 1 )^2 +\frac{9}{5}\)
\(C_1\)の頂点の\(y\)座標は\(\displaystyle \frac{9}{5}\)（答）

対称性から\( C_2\)の頂点は\(y\)軸上にあり、かつ点\(\displaystyle (-\frac{3}{2},0) \)、\(\displaystyle (\frac{3}{2},0) \)を通るので、
\(\displaystyle y = k \Big( x + \frac{3}{2} \Big) \Big( x-\frac{3}{2} \Big) = k \Big( x^2-\frac{9}{4} \Big) \)とおける。
これが点\(\displaystyle (-1,\frac{9}{5}) \)を通るので、
\(\displaystyle \frac{9}{5} = k \Big( -\frac{5}{4} \Big) \)
\(\displaystyle k = -\frac{36}{25}\)
よって、\(C_2\)の頂点の\(y\)座標は\(\displaystyle \frac{81}{25}\)で、大きな噴水の高さは小さな噴水の高さのおよそ2倍。（答）

(2)

\(C’_2\)は\(y = lx^2 + 5\)とおける。
これが点\(\displaystyle (-1,\frac{9}{5}) \)を通るので、
\(\displaystyle \frac{9}{5} = l + 5 \)。よって、\(\displaystyle l= -\frac{16}{5} \)。
\(C’_2\)は\(\displaystyle y = -\frac{16}{5}x^2 + 5\)となるので、
\(\displaystyle -\frac{16}{5}x^2 + 5 = 0\)とすると、\(\displaystyle x = \pm \frac{5}{4} \)。
よって、\(P’_2\)は\(P_2\)より\(\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{5}{4} = \frac{1}{4}\)だけ\(P_1\)の方にある。（答）

\(C_1\)を\(\displaystyle y = a \Big( x + \frac{5}{2} \Big)\Big( x – \frac{1}{2} \Big)\)とおいたり、\(C_2\)の頂点を求めるために、\(\displaystyle y = a \Big( x^2 +2x-\frac{5}{4} \Big) = a \Big\{ ( x + 1 )^2 -\frac{9}{4} \Big\} = a( x + 1 )^2 -\frac{9}{4}a\)を使うなど、細かい計算の工夫をすると時間短縮が見込める問題でした。

［2］【データの分析】

(1)(i)

ということで、上の図と問題文の散布図を照らし合わせると(a)も(b)も正しいことがわかる。（答）

(ii) 第１四分位数はP12：351、第３四分位数はP36：1251なので、四分位範囲は\(1251-351 = 900\)。（答）
上方（下方には「外国人宿泊者数」で外れ値に該当するものがない）の外れ値のラインは\(1251 + 900 \times 1.5 = 2601\)。2601以上のデータであるP45、P46、P47は全部「外国人宿泊者数」も外れ値なので、両方外れ値である都道府県の数は3。（答）

(2)

\( z_i – \bar{z} = (x_i – \bar{x}) + (y_i – \bar{y}) \)より、\( (z_i – \bar{z})^2 = (x_i – \bar{x})^2 + (y_i – \bar{y})^2 +2(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) \)。
よって\(z\)の分散\(s_z^2\)は、
\(\displaystyle s_z^2 = \frac{1}{n}\sum{(x_i – \bar{x})^2}+ \frac{1}{n}\sum{(y_i – \bar{y})^2}+2 \frac{1}{n}\sum{(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}\)
\(s_z^2 = s_x^2+s_y^2+2s_{xy}\)（答）

相関係数と共分散の符号は一致する。今回は相関係数が正なので、共分散\(s_{xy}\)の符号も正。
よって、\(s_z^2 = s_x^2+s_y^2+2s_{xy}\)から\(s_z^2 – (s_x^2+s_y^2) = 2s_{xy} > 0\)、
\(s_z^2 > s_x^2+s_y^2\)（答）

(3)

23枚以上の割合を足すと、\( 2.4 + 0.9 + 0.5 + 0.4 + 0.1 =4.3\)（答）

ということで、

”「キャンペーンAの方が良い」と回答する割合と「キャンペーンBの方が良い」と回答する割合は等しい（＝どちらのキャンペーンがいいか、という理由がない）”…（※）

とすると、「35枚中23枚以上（＝35人中23人以上）」は4.3％の確率でしか起きない。5％より低いので、偶然23枚以上（23人以上）になったとは言い難い。

つまり、偶然ではなく理由があって「キャンペーンAの方がよい」と思っている人が多い。よって、（※）の仮説は誤っていると判断し、キャンペーンAの方がよいと思っている人が多いといえる。（答）

共通テスト数学ⅠA．第３問【図形の性質】

(1)

よって、直線ADは平面ABEDと平面ACFDとの交線、直線BEは平面ABEDと平面BCFEとの交線。（答）

(2)(i)

よって、相似比は1:3、\(3PA = PB + 11\)…①、\(3PB = PA + 7\)…②が成り立つ。（答）

①、②を連立して解くと、\(PA = 5\)、\(PB=4\)。（答）

(ii)

方べきの定理より、\(PC \cdot PF = PB \cdot PE \)
\( PC(PC+17) = 4 \cdot 15 \)
\(PC^2 + 17 PC – 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 0\)
\( (PC+20)(PC-3)=0 \)
\(PC>0\)より\(PC=3\)（答）

相似比を使って、\(\displaystyle EF = 3 \times \frac{20}{4} = 15\)、\(\displaystyle DF = 3 \times \frac{20}{5} = 12\)。（答）

上の図のイメージから(a)平面ABEDと平面DEFは垂直である→偽、(b)直線DEは平面ACFDに垂直である→真、(c)直線ACと直線DEは垂直である→真。（答）

（補足）平面PDFと平面PED（平面ABED）、平面DEFは垂直。よって直線DE⊥平面PDF、直線AC（平面PDF上の直線ならどれでも）⊥直線DE。

第４問【場合の数と確率】

(1) １回目または2回目に当たりが出る確率は\(\displaystyle \frac{3}{16}+\frac{1}{8} = \frac{5}{16}\)。（答）

A：1回目に当たりが出る、B：2回目に当たりが出る（1回目当たらず2回目に当たる）、とすると、
「1回目、2回目ともに当たりがでない」→「Aでない、かつ、Bでない（\(\overline{A}\cap \overline{B}\)）」→「AまたはB、でない（\(\overline{A \cup B}\)）」
よって、\(\displaystyle 1-\Big( \frac{3}{16} + \frac{1}{8} \Big) = \frac{11}{16}\)。（答）

同様に考えると、1回も当たりが出ないのは「1回目が当たる、または、2回目が当たる、または、3回目が当たる」の余事象。
よって、\(\displaystyle 1-\Big( \frac{3}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \Big) = \frac{5}{8}\)。（答）

(2)(i) \(X=0\)となるのは「1回も当たらない確率」なので\(\displaystyle \frac{5}{8}\)。芋づる式に\(X=1200\)となるのは\(\displaystyle 1-\frac{5}{8} = \frac{3}{8}\)、
よって\(X\)の期待値は\(\displaystyle 1200 \cdot \frac{3}{8} = 450\)。（答）

(ii) 「主催者が得をする」→「参加料が妥当である」という言い方を押さえる。

「参加者の参加料が500円で、参加者が期待できる景品の期待値450円」という状況。よって、期待値が500円未満（450円）なので参加料500円という設定は妥当である。（答）

(3)(i) 「料金170円＝1回目に当たる」「料金340円（\(170 \times 2 \)）＝2回目に当たる」「料金510円（\(170 \times 3 \)）＝3回目に当たる、または、3回目も外れる」

よって、\(\displaystyle \frac{170 \times 3 + 340 \times 2 + 510 \times 11}{16}=\frac{170(3+4+33)}{16} = 425 \)。…（※）（答）

(ii) 「参加者が期待できる景品の期待値450円」。一方(3)(i)での「参加者の参加料の期待値は425円」。なので、「参加者が期待できる景品の期待値450円は参加者の参加料の期待値425円以上」。（答）
よって、主催者が損をするので、この参加料の設定は妥当ではない。（答）

くじを引く前に払う料金\(a\)円とすると、（※）の\(170 \rightarrow a\)とすればよいので、
\(\displaystyle \frac{40}{16}a = \frac{5}{2}a\)。
これが、景品の期待値450円より大きければ主催者が得をする（妥当である）ので、
\(\displaystyle \frac{5}{2}a > 450\)
\( a > 180\)。（答）

2025共通テスト「数学I A」解説まとめ

2025年共通テスト「数学IA」の解説でした。

新課程で初めての共通テストだったので、やや簡単だったかな、という感じですが、今後の共通テストの方針が見えるメッセージ性のある問題が多かった印象です。